Bài toán đố hệ bất phương trình bậc nhất

Các bài toán đố sử dụng hệ bất phương trình bậc nhất cũng là một dạng toán cần luyện tập trong SAT Digital. Các em hãy cùng ôn lại cách giải cũng như các thuật ngữ cần lưu ý và luyện tập nhé!

Các thuật ngữ cần chú ý

quantity
(đại lượng)

Đại lượng chỉ các khái niệm hay thông tin có thể đo, đếm hoặc tính toán được. Đại lượng thường được biểu diễn bằng các số, kí hiệu hoặc biểu thức toán học.

VD: số lượng sách trong thư viện là 10.000 quyển, thời gian để thực hiện một công việc là 2 giờ, độ dài của một đoạn đường là 5 kilômét hay độ cao của một tòa nhà là 100 mét.

variable
(biến số)

Là một khái niệm toán học để chỉ một đại lượng có thể thay đổi trong một phép tính hoặc bài toán. Biến số thường được ký hiệu bằng các chữ cái, ví dụ như x, y, z.

VD: Ví dụ, trong phương trình bậc nhất 2x + 8 = 7, biến số x đại diện cho giá trị chúng ta cần tìm ra.

Ngoài ra, đối với các thuật ngữ trong bài toán đố, ta có thể cần chú ý:

more than c greater than c higher than c	> c	lớn hơn c
less than c lower than c	< c	nhỏ hơn c
greater than c equal to c at least c	≥ c	lớn hơn hoặc bằng c
less than or equal to c at most c	≤ c	nhỏ hơn hoặc bằng c
no less than c	≥ c	lớn hơn hoặc bằng c
no more than c	≤ c	nhỏ hơn hoặc bằng c
least, lowest, minimum value		giá trị nhỏ nhất thỏa mãn bất phương trình
greatest, highest, maximum value		giá trị lớn nhất thỏa mãn bất phương trình
a possible value		mọi giá trị thỏa mãn bất phương trình

Các cách giải

Khi giải một bài toán hệ bất phương trình bậc nhất các em sẽ làm theo các bước sau:
1. Gán các đại lượng vào biến số và viết hệ bất phương trình bậc nhất.
2. Giải bất phương trình bậc nhất dựa trên các bước:

Bất phương trình bậc nhất không cần đổi dấu: Khi hệ số của x dương, các em chia cho hệ số này và giữ nguyên chiều dấu bất đẳng thức để cô lập x.
Bất phương trình bậc nhất yêu cầu đổi dấu: Khi hệ số của x âm, các em chia cho hệ số này và đổi chiều dấu bất đẳng thức để cô lập x.

Ngoài ra, các em còn có thể thực hiện giải hệ bất phương trình bằng cách thử nghiệm cho các biến.

3. Kết hợp tập nghiệm của các bất phương trình để ra khoảng nghiệm cuối cùng.

VD:
Diego làm việc tại một đại lý xe ga bán hai mẫu xe ga: mẫu tiêu chuẩn 5.000 đô-la và mẫu xe đua 7.000 đô-la. Tháng trước, mục tiêu là bán được ít nhất 36 chiếc xe ga. Nếu Diego thành công và mang lại doanh thu hơn 250.000 đô-la, hệ bất phương trình nào mô tả s, số lượng xe ga mẫu tiêu chuẩn và r, số lượng xe ga mẫu xe đua mà Diego đã bán vào tháng trước?
Đáp án: Tập nghiệm nằm trong khoảng:

Lời giải
Diego đã bán xe ga mẫu tiêu chuẩn và xe xe ga mẫu xe đua vào tháng trước. Vì anh ấy đã đạt được mục tiêu bán ít nhất 36 chiếc xe tay ga nên tổng của s và r phải lớn hơn hoặc bằng 36: s+r ≥ 36

Mỗi chiếc xe ga mẫu tiêu chuẩn được bán với giá 5.000 đô-la, vì vậy Diego đã kiếm được 5.000 đô la từ việc bán những chiếc xe ga tiêu chuẩn. Tương tự, anh ấy đã kiếm được 7.000 đô-la từ việc bán xe ga kiểu xe đua. Vì anh ấy đã bán được hơn 250.000 đô-la nên tổng của 5.000s và 7.000r phải lớn hơn 250.000:
5.000s +7.000r > 250.000

Vậy hệ bất phương trình là:
s+r ≥ 36
5.000s +7.000r > 250.000

Chúng ta có thể thực hiện phương pháp thử nghiệm s = 10 và r = 30 có thỏa mãn cả hai bất đẳng thức trong hệ không.
s+r ≥ 36
10+30 ≥ 36
40 ≥ 36
Vậy bất phương trình đầu tiên thỏa mãn

5.000s+7.000r > 250.000
5.000(10)+7.000 (30) > 250.000
50.000+210.000 > 250.000
260,000 > 250,000
Vậy bất phương trình thứ hai thỏa mãn
Vì s = 10 và r = 30 thỏa mãn cả hai bất phương trình nên (s, r) = (10, 30) là nghiệm của hệ.

Diego có thể đã bán được 10 chiếc xe ga mẫu tiêu chuẩn và 30 mẫu xe đua.