Hệ phương trình bậc nhất

Các em đã nắm rõ cách giải hệ phương trình bậc nhất trong các dạng Toán SAT chưa? Nếu chưa, hãy cùng theo dõi bài viết dưới đây để biết các chú ý về thuật ngữ, công thức cũng như thực hành một số bài tập liên quan nhé!

Các thuật ngữ cần chú ý

System of linear equations
(Hệ phương trình bậc nhất)

Là một hệ gồm hai phương trình bậc nhất với hai biến.
VD: 2x+1=3
3y-x=8

Infinite number of solutions
(vô số nghiệm)

Là hệ có nhiều cặp nghiệm có thể thỏa mãn hệ phương trình.
VD: x + y = 5 có nhiều cặp nghiệm như (0,5), (1,4), (2,3),...

Cách giải

Để giải hệ phương trình bậc nhất, chúng ta thường có 2 cách giải: thế và khử.
1. Phép thế
Để giải một hệ phương trình bằng phép thế:

Cô lập một trong hai biến trong một trong các phương trình.
Thay thế phương trình bằng biến cô lập từ Bước 1 vào phương trình khác. Ta có một phương trình bậc nhất chỉ có một biến.
Giải phương trình bậc nhất để tìm biến đó và thế ngược vào phương trình để tìm biến còn lại.

y = 3x - 1
4x + y = 8

Ta có: y = 3x - 1, thế vào phương trình sau: 4x + (3x - 1) = 8 -> x = -1
Thế vào phương trình sau, ta có: 4(-1) + y =8 -> y = -4.

Cách giải 1

2. Phép khử
Để giải một hệ phương trình bằng phép khử:

Xác định một cặp số hạng trong hệ có cùng biến và hệ số (ví dụ: 2y và 2y, 3x và -3x). Nếu không có, các em hãy biến đổi lại một hoặc cả hai phương trình sao cho một cặp số hạng có cùng biến và hệ số.
Cộng hoặc trừ hai phương trình trong hệ để khử các số hạng đã xác định ở Bước 1. Các em sẽ có một phương trình bậc nhất chỉ có một biến.
Giải phương trình bậc nhất để có được một giá trị cho biến.
Bây giờ các em đã tìm ra giá trị của một biến, hãy thay giá trị đó vào một trong hai phương trình để tìm giá trị của biến còn lại.

VD: 3x + 2y = 10
2x - 2y = 5
Ta sẽ chọn khử biến 2y bằng cách cộng hai phương trình trong hệ với nhau, ta được:
5x = 15 -> x = 3.
Thể vào phương trình đầu, ta có:
3.3 + 2y = 10 -> y = 1/2.

Cách giải 2

3. Cách xác định số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất
Ta có thể sử dụng phương pháp đồ thị, tuy nhiên, ở đây các em sẽ được hướng dẫn cách xác định bằng việc viết lại cả hai phương trình ở dạng hệ số góc-chặn, y = mx + b.

Nếu hai phương trình có hệ số góc khác nhau thì hệ có một nghiệm.
Nếu hai phương trình có cùng hệ số góc nhưng khác nhau hằng số, thì hệ vô nghiệm.
Nếu hai phương trình có cả hai cùng hệ số góc và hằng số, thì hệ có vô số nghiệm.

Để xác định số lượng nghiệm của một hệ phương trình bậc nhất, sử dụng dạng hệ số góc-chặn, y = mx+b:

Viết lại cả hai phương trình ở dạng hệ số góc-chặn.
So sánh các hệ số góc và hằng số của phương trình để xác định số nghiệm.

VD: 1/3y = x + 2
y = 3x + 6
Các em có thể viết lại phương trình đầu tiên bằng cách nhân cả hai vế của phương trình đầu với 3:
y = 3x + 6
Vì phương trình thứ nhất trùng với phương trình thứ 2 nên hệ có vô số nghiệm.

Bài tập

Bài 1:
4x + 2y = 2
2x - y = - 9
The system of equations above has a solution (x, y). What is the value of y?
Đáp án: 5

Bài 2:
2x - y = 12
3x - 7y = 7
Which ordered pair (x, y) satisfies the system of equations shown above?
Choose 1 answer:
A) (0, -1)
B) (4,-4)
C) (7,2)
D) (10,8)
Đáp án: C

Bài 3:
ax - 3y = 21
bx - 3y = 11
The system of equations above has no solutions. If a and b are positive а constants, what is the value of a/b?
Đáp án: 1