Hệ phương trình bậc nhất và bậc hai

Ví dụ: Giải hệ phương trình: y = x + 1 và y = x2 - 1
Cách 1: Sử dụng đồ thị hàm số: Để giải hệ phương trình bậc nhất và bậc hai bằng đồ thị hàm số trên graphing calculator.
Bước 1: Nhập hai phương trình hàm số y = x + 1 và y = x2 - 1 vào màn hình của graphing calculator.
Bước 2: Nghiệm của hệ phương trình chính là hoành độ của giao điểm của hai hàm số đã nhập.


Cách 2: Sử dụng phép thế: Để giải hệ phương trình bậc nhất và bậc hai bằng phép thế, các em sẽ cô lập một trong hai ẩn (x hoặc y), sau đó cho hai vế còn lại bằng nhau.
Ta thấy y đã bị cô lập, vì vậy để giải hệ phương trình này, ta chỉ cần cho hai vế còn lại bằng nhau:
x + 1 = x2 - 1 
⇒ x2 - x - 2 = 0 
⇒ (x + 1)(x - 2) = 0 
⇒ x = -1 hoặc x = 2

Tìm hằng số thỏa mãn yêu cầu về số nghiệm của hệ phương trình
Ở trong một số câu hỏi của bài thi SAT, các em sẽ được đề bài cho một hệ phương trình và được yêu cầu tìm hằng số làm thỏa mãn yêu cầu về số nghiệm của phương trình. 
Sẽ có ba trường hợp có thể xảy ra:
TH1: Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt (distinct solutions).
TH2: Hệ phương trình có một nghiệm phân biệt/một nghiệm duy nhất
TH3: Hệ phương trình không có nghiệm/vô nghiệm

Ví dụ: y = x2 - 1 và y = a
Để làm được bài toán này, các em có thể sử dụng một trong hai cách làm sau:
Cách 1: Sử dụng graphing calculator
Bước 1: Nhập phương trình hàm số y = x2 - 1 vào màn hình của graphing calculator. Ta thu được đồ thị của hàm số đó

Bước 2: Số nghiệm của hệ phương trình chính là số giao điểm của đồ thị hàm số của hai phương trình trong hệ. 
Khi đó: 

• Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt khi a > -1
• Hệ phương trình có một nghiệm duy nhất khi a = -1
• Hệ phương trình vô nghiệm khi a < -1

Cách 2: Sử dụng phép thế
Bước 1: Để biện luận số nghiệm của hệ phương trình bậc nhất và bậc hai bằng phép thế, các em sẽ cô lập một trong hai ẩn (x hoặc y), sau đó cho hai vế còn lại bằng nhau. 
Trong ví dụ về hệ phương trình y = x2 - 1 và x = a, các em có thể thấy thấy ẩn y đã bị cô lập, vì vậy ta chỉ cần cho hai vế còn lại bằng nhau: x2 - 1 = a

Bước 2: Số nghiệm của hệ phương trình chính là số nghiệm của phương trình x2 - 1 = a. Ta sẽ sử dụng Δ để biện luận số nghiệm.
TH1: Hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi phương trình x2 - 1 = a có 2 nghiệm phân biệt (Δ>0)
Vậy a> -1
TH2: Hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất khi phương trình x2 - 1 = a có 1 nghiệm duy nhất (Δ=0)
Vậy a = -1
TH3:  Hệ phương trình vô nghiệm khi phương trình x2 - 1 = a vô nghiệm (Δ<0)
Vậy a < -1

Bài tập dễ: y = x and y = x² - 6
What are the solutions to the system above?
Đáp án: -2 and 3

Bài tập trung bình: y = −x² + 4 and y = c
If the system above has exactly one solution, what is the value of c?
Đáp án: 4

Bài tập khó: 

A system of equations is graphed in the xy-plane above. Which of the following are solutions to the system?
I. (2,3)
II. (6,11)
III. (8,9)
Choose 1 answer: Đáp án: C