Nhân tử và phần dư của đa thức

Nếu em đang chuẩn bị cho kỳ thi SAT Math, nhân tử và phần dư của đa thức là một kiến thức quan trọng mà em cần nắm được để giải quyết các câu hỏi khó và đạt điểm cao trong kỳ thi này. Trong bài viết này, hãy cùng tìm hiểu các thuật ngữ, công thức, và bài tập liên quan đến biểu đồ của phương trình phi tuyến tính nhé!

Thuật ngữ

polynomial (đa thức)

Đa thức là một biểu thức toán học gồm các hệ số và các biến số, và được tạo thành từ việc cộng, trừ, nhân các hạng tử với nhau. Ví dụ, Thuật ngữ 1 là một đa thức, trong đó x là biến số.

degree (bậc)

Số mũ lớn nhất trong tất cả các biến số.

coefficient (hệ số)

Hằng số nhân với biến số.

factor (nhân tử)

Nhân tử của một đa thức là một đa thức khác mà khi nhân với nhân tử đó sẽ cho ra đa thức ban đầu. Ví dụ, đa thức Thuật ngữ 2 có hai nhân tử là (x - 2) và (x + 2), vì khi nhân hai nhân tử này với nhau, ta sẽ thu được đa thức ban đầu.

zero/root/x-intercept (nghiệm)

Giá trị của biến làm cho hàm số bằng không.

quadratic function (hàm số bậc hai)

Hàm số có dạng f(x) = Thuật ngữ 3 (a ≠ 0).

rational function (hàm số hữu tỉ)

Hàm số có dạng f(x) = P(x)Q(x) (Q(x) ≠ 0).

Một hàm số hữu tỉ được gọi là không xác định khi đa thức ở mẫu bằng 0.

intercept (điểm cắt trục)

Điểm mà đồ thị cắt trục Ox hoặc trục Oy

Trên trục Ox được gọi là x-intercept và được tính bằng cách đặt y = 0.
Trên trục Oy, intercept được gọi là y-intercept và được tính bằng cách đặt x = 0.

constant (hằng số)

Giá trị không phụ thuộc vào bất kỳ yếu tố nào.
Ví dụ: Trong hàm số y = x + 2, 2 là hằng số

remainder (phần dư)

Phần dư của một đa thức là đa thức còn lại sau khi chia cho một đa thức khác. Ví dụ, phép chia đa thức Thuật ngữ 4 cho đa thức x - 2 sẽ cho phần dư là 2x.

Các công thức và tính chất cần nhớ

1. Định lý nhân tử
Định lý nhân tử (The Factor Theorem) phát biểu rằng với đa thức f(x), nếu f(a) = 0 thì (x - a) là một nhân tử của f(x).

Ví dụ 1: f(x) = Các công thức và tính chất cần nhớ 1

Ta có:

⇒ (x + 1) là một nhân tử của f(x)

Ví dụ 2: Cho đồ thị hàm số y = f(x). Tìm tất cả các nhân tử của f(x)?
Các công thức và tính chất cần nhớ 3

Ta nhận thấy đồ thị hàm số y = f(x) cắt trục Ox tại 2 điểm x = 1 và x = 3
⇒ f(1) = 0 và f(3) = 0
⇒ (x - 1) và (x - 3) là hai nhân tử của f(x)

2. Định lý phần dư
Định lý phần dư đa thức (remainder theorem) là một công cụ quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan đến đa thức. Nếu chia một đa thức P(x) cho một đa thức (x - a), thì phần dư của phép chia sẽ bằng giá trị của đa thức P(x) tại điểm x = a.

Ví dụ: Cho đa thức P(x) = Các công thức và tính chất cần nhớ 4

và muốn tính phần dư của P(x) khi chia cho đa thức (x - 2). Theo định lý phần dư đa thức, ta chỉ cần tính giá trị của P(x) tại x = 2 để tìm phần dư.
⇒ Các công thức và tính chất cần nhớ 5

⇒ Phần dư của P(x) khi chia cho (x - 2) là P(2) = -13.

Bài tập

Bài 1 (độ khó thấp): Given the polynomial P(x) = Bài tập 1

, find the remainder when P(x) is divided by x - 3.
Đáp án: 14

Bài 2 (độ khó vừa)
Bài tập 2

Đáp án: 243

Bài 3 (độ khó cao): Given the graph of function y = f(x).
a. Find the factors of the given function?
b. Find the remainders after the function is divided by x + 1
Bài tập 3