Tăng trưởng theo cấp số cộng và cấp số nhân

Các em đã nắm rõ dạng bài về tăng trưởng theo cấp số cộng (linear growth) và tăng trưởng theo cấp số nhân (exponential growth) trong Toán Digital SAT chưa? Nếu chưa, hãy cùng theo dõi bài viết dưới đây để ôn lại các chú ý về thuật ngữ, công thức cũng như thực hành một số bài tập liên quan nhé!

Thuật ngữ

Thuật ngữ tiếng Anh

Giải thích tiếng Việt

Linear growth

Tăng trưởng theo cấp số cộng là kiểu tăng trưởng trong đó giá trị của hàm số tăng lên một lượng cố định sau mỗi đơn vị thời gian.

Ví dụ, nếu số lượng cây trồng được trồng vào mỗi năm là 100 cây và trong 5 năm, số lượng cây sẽ tăng lên thành 500 cây.

Exponential growth

Tăng trưởng theo cấp số nhân là kiểu tăng trưởng trong đó giá trị của hàm số tăng lên một tỷ lệ phần trăm cố định sau mỗi đơn vị thời gian.

Ví dụ, Nếu số lượng vi khuẩn ban đầu là 1000 và tốc độ tăng trưởng của chúng là 50% mỗi giờ, thì sau 1 giờ, số lượng vi khuẩn sẽ tăng lên thành 1500, sau 2 giờ, nó sẽ tăng lên thành 2250, sau 3 giờ, nó sẽ tăng lên thành 3375.

Linear equation

Phương trình bậc nhất có công thức tổng quát là y = ax + b:

Exponential equation

Phương trình mũ có công thức tổng quát là y = a(b)x:

b là công bội (common factor/common ratio).
a là giá trị ban đầu (initial value), hay tung độ gốc (y-intercept).

Viết phương trình dựa vào bảng giá trị

Khi các em được cho một bảng giá trị (x, y):

Nếu có một số nào đó được cộng nhiều lần vào y thì các em viết được một phương trình bậc nhất y = mx + b:
- m là số được cộng nhiều lần vào y và được gọi là tốc độ thay đổi (rate of change) hoặc độ dốc (slope).
- b là giá trị ban đầu/y-intercept.
Nếu có một giá trị nào đó được nhân nhiều lần vào y thì các em viết được một phương trình mũ y = a(b)x:
- b là số được nhân nhiều lần vào y và được gọi là công bội.
- a là giá trị ban đầu/y-intercept.

Ví dụ 1

x	0	1	2	3	4
y	3	5	7	9	11

Trong bảng này, các em có thể thấy giá trị y đứng sau bằng giá trị y đứng trước cộng với 2. Nói cách khác, khi x tăng lên 1 đơn vị, y tăng lên 2 đơn vị.
⇒ Các em có thể viết được một phương trình bậc nhất với hệ số góc là 2 và điểm cắt trục y là (0,3)
⇒ m = 2 và b = 3
Vậy phương trình cần tìm là y = 2x + 3.

Ví dụ 2

x	0	1	2	3	4
y	3	6	12	24	48

Trong bảng này, các em có thể thấy giá trị y đứng sau bằng giá trị y đứng trước nhân với 2. Nói cách khác, khi x tăng lên 1 đơn vị, y tăng 2 lần.
⇒ Các em có thể viết được một phương trình mũ với công bội là 2 và điểm cắt trục y là (0,3)
⇒ b = 2 và a = 3
Vậy phương trình cần tìm là y = 3(2)x.

Dấu hiệu nhận biết

Các em hãy cùng quan sát một số cụm từ thông dụng trong các bài toán tăng trưởng theo cấp số cộng và tăng trưởng theo cấp số nhân trong bảng dưới đây nhé!

Dấu hiệu nhận biết

Dấu hiệu nhận biết	Kết luận về tăng trưởng
Thay đổi với tốc độ không đổi	Theo cấp số cộng
Thay đổi một lượng c mỗi đơn vị thời gian	Theo cấp số cộng
Thay đổi một lượng c% mỗi đơn vị thời gian	Theo cấp số nhân
Thay đổi một lượng c% của giá trị ban đầu mỗi đơn vị thời gian	Theo cấp số cộng

Ví dụ:

Dân số của một làng giảm 2,3% mỗi năm
Jorge có 200 đô la để ở trong khi đi du lịch. Anh ta trả 40 đô la mỗi ngày khi ở trong ký túc xá.
Chiều cao của cây tăng 5 cm mỗi ngày.
Đối với tài khoản tiết kiệm, 1,25% giá trị hiện tại được cộng vào giá trị của tài khoản mỗi năm kế tiếp.

Hướng dẫn

Tăng theo cấp số cộng: Chiều cao của cây tăng 5 cm mỗi ngày.
- Chiều cao của cây tăng với tốc độ không đổi.
- Mỗi ngày trôi qua, chiều cao của cây tăng thêm 5 cm.
Giảm theo cấp số cộng: Jorge có 200 đô la cho chỗ ở khi đi du lịch. Anh ấy trả 40 đô la mỗi ngày ở tại một ký túc xá.
- Khoản tiền của Jorge đang giảm với tốc độ không đổi.
- Cứ mỗi ngày anh ta ở ký túc xá, số tiền anh ta còn lại giảm đi 40 đô la.
Tăng trưởng theo cấp số nhân/Tăng theo cấp số nhân: Đối với tài khoản tiết kiệm, 1,25% giá trị hiện tại được cộng vào giá trị của tài khoản mỗi năm liên tiếp.
- Giá trị hiện tại của tài khoản tiết kiệm tăng theo cùng một hệ số.
- Đối với mỗi năm kế tiếp, giá trị của tài khoản tiết kiệm được nhân với 1 + 1,25% = 1,0125.
Suy giảm mũ/Giảm theo cấp số nhân: Dân số của một làng giảm 2,3% mỗi năm.
- Dân số hiện tại của làng giảm theo cùng một hệ số.
- Cứ mỗi năm kế tiếp, dân số của làng được nhân với 1 - 2,3% = 0,977.

Bài tập

Bài tập dễ: A bakery is giving away 600 cookies. The giveaway starts on a busy weekend, and passersby take the free cookies at a constant rate. After 2 hours, the bakery has given away 50% of the cookies. Which of the following equations models the number of cookies, C, remaining h hours after the giveaway starts?

A. C = 600 - 150h
B. C = 600 - 50h
C. C = 600(0.5)h/2
D. C = 600(0.5)h

Đáp án: A

Bài tập vừa: Which of the following equations relates y to x for the values in the table below?

Đáp án: D

Bài tập khó: Sam needs to sign 300 copies of their new novel. They sign the copies at a constant rate. After 15 minutes, they have signed 20% of the copies. What equation models the number of copies of Sam's new novel, N, left to sign t minutes after they started signing?
Đáp án: N = 300 - 4t